پایان نامه تابع متغیر مختلط ۱

تعداد صفحات: ۵۸ | قابل ویرایش

فهرست مطالب پایان نامه تابع متغیر مختلط ۱

فصل ۶. ۵

ویژگیهای تحلیلی نگاشت.. ۵

۶.۱       جبر مختلط.. ۷

همیوغ مختلط.. ۹

تابعهای متغییر مختلط.. ۱۳

خلاصه. ۱۶

۶-۲   شرایط  کوشی _ریمان.. ۱۷

توابع تحلیلی.. ۲۲

خلاصه. ۲۲

۶-۳      قضیه ی انتگرال کوشی.. ۲۳

انتگرال های پربندی.. ۲۳

اثبات قضیه ی انتگرال کوشی به کمک قضیه ی استوکس… ۲۵

نواحی همبند چند گانه. ۲۷

فرمول انتگرال کوشی.. ۲۹

مشتقها ۳۱

قضیه ی موره آ ۳۲

خلاصه. ۳۴

۶-۵    بسط لوران.. ۳۴

بسط تایلور. ۳۴

اصل انعکاس شوارتز. ۳۶

ادامه ی تحلیلی.. ۳۷

سری لورن.. ۴۰

خلاصه. ۴۳

۶-۶  نگاشت.. ۴۴

انتقال. ۴۵

چرخش… ۴۵

انعکاس… ۴۶

نقطه های شاخه و توابع چند مقدار. ۴۸

خلاصه. ۵۳

۶-۷            نگاشت همدیس… ۵۳

خلاصه. ۵۴

تابعهای متغیر مختلط ۱

ویژگیهای تحلیلی نگاشت

عددهای موهومی پرواز شگفت انگیز روح خدایند.این اعداد هویت دو گانه ای بین بودن ونبودن دارند.

نظریه ی تابع ها از یک متغییر مختلط شامل برخی از قوی ترین و مفید ترین وپر کاربرد ترین ابزارهای تحلیل ریاضی است.برای انکه دست کم تا هدودی اهمییت متغیر های مختلف را نمایش دهیم چند مبهث از کاربرد های انها را به اختصار بر می شمریم.

۱.در مورد بسیاری از زوج تابع هایu v ,همuوهم vدر معادله ی لاپلاس در دو بعد واقعی صدق میکنند. برای مثال یا vیاu  را میتوان برای توصیف پتانسیل الکتروستاتیکی دو بعدی به کار برد . آن گاه میتوان از تابع دیگری برای توصیف میدان الکتریکی  Eبهره گرفت  که یک دسته از منحنی های عمود بر منحنی های مربوط به تابع اولیه را ارائه می کند  یک موقعیت مشابه برای هیدرودینامیک از یک شاره ایده ال با حرکت غیر چرخشی نیز وجود دارد تابع uباید پتانسیل سرعت را توصیف کند در حالی که تابع  vتابع جریان خواهد بود.

درمواردبسیاریکه تابع های  u,vمجهولند می توانیم به یاری نگاشت یا تبدیل در صفحه ی مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ی مورد نظر بسازیم.

٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج های اعداد حقیقی ساخته می شوند بنابر این حوزه ی اعداد حقیقی به طور طبیعی در حوزه ی اعداد مختلط جا سازی میشوند. در اصطلاح های ریاضی حوزه ی اعداد مختلط تعمیمی از حوزه ی اعداد حقیقی است و بعداً در جهت هر چند جمله ای به ترتیب n (در حالت کلی )صفر مختلط کامل میشود.

این واقعیت ابتدا به وسیله ی گاوس اثبات شد و قضیه اصلی جبر نامیده شد. به صورت یک نتیجه تابع های حقیقی سری حقیقی بی نهایت و انتگرال ها معمولا میتوانند به طور طبیعی به اعداد مختلط ساده به وسیله ی نشاندن یک متغیر حقیقی x برای مثال به جای مختلط z تعمیم داده شوند.

‌

جبر مختلط

به تجربه می دانیم که با حل کردن معادله های درجه دوم برای به دست آوردن صفر های حقیقی آ نها اغلب موفق نمی شویم حاصل جواب را به دست بیاوریم  مثال زیر به این نکته اشاره دارد:

برای همه ی مقادیر حقیقیی xمثبت و معین است.

معادله ی بالا در حوزه اعداد حقیقیی y(x)=0جواب ندارد. البته اگر ما از علا مت  استفاده کنیم میتوانیم جواب های y(x)=0رابه صورت بنویسیم در زیر درستی آن را بررسی می کنیم:

اگر چه می توانیم مجاسبا تی باi  با توجه  به قانون  انجام دهیم اما این علا مت به ما نمی گوید که اعداد موهومی واقعی هستند.

برای تمایان ساختن صفر های مختلط  باید اعداد حقیقی روی خط را در یک صفحه ی اعداد مختلط بزر گ کنیم . یک اعدد مختلط را به صورت یک نقطه با دومختصات در صفحه اقلیدسی به صورت زوج مرتب از دو عدد حقیقیی(a,b)به صورتی که در (شکل۶-۱ )نشان داده شده است معین کنیم . شبیه آن،یک متغیرمختلط یک زوج مرتب ازدومتغیر حقیقی است، تریب قرار گرفتن متغیر ها مهم است.

xقسمت حقیقی z ,  y قسمت موهومی zنامیده میشود . در حالت کلی ، ( a,b) با (b,a) مساوی نیست و همچنین (,y x) با ((y,xمساوی نیست .به طور معلوم نوشتن یک عدد حقیقی (  ( x ,o  را به سادگی بصورتxادامه می دهیم و (o,l) = iرا واحد موهومی می شویم محور xمحورحقیقی است و محور yمحور موهومی صفحه عدد مختلط است.

توجه کنید که درمهندسی الکتیریکی قرار دارد است وiازپیش برا ی نشان دادن شدت جریان الکتیریکی حفظ شده است. عدد های مختلط باتوجه به مثال۶-۱-۱نقطه های  هستند.

توابع تحلیلی

سرانجام اگرf(z) در _۰z = z   و در ناحیه ی کوچکی اطراف_۰ z   مشتق پذیر باشد ،می گوییم f(z) در _۰z = z تحلیلی است. اگر f(z) در همه ی نقاط صفحه ی مختلط (متناهی) تحلیلی باشد ،آن را یک تابع تام می نامیم.

نظریه ای که در اینجا درباره ی متغییرهای مختلط مطرح می کنیم ،اساسا نظریه ی توابع تحلیلی متغییر های مختلط است ،که اهمیت حیاتی شرایط کوشی _ ریمان را باز گو می کند .مفهوم تحلیلی نبودن که در نظریه های پیشرفته فیزیک جدید خیلی پیش می آید ،در نظریه ی پاشندگی (ذرات بنیادی یا نور )نقش مهم بازی میکند . اگر در نقطه ی( z ) ׳ f  در نقطه ی   _۰z = z     وجود نداشته باشد آن نقطه _۰z   را یک نقطه ی تکین می نامند که بررسی آن را به بخش( ۷-۱) مو کول میکنیم.

برای نمایش دادن شرایط کو شی _ ریمان ،دو مثال ساده ی زیر را در نظر می گیریم.

اگر ²  z = f(z)  باشد . جزءحقیقی آن  عبارت است از u(x,y)=x^۲  – y^۲    و جزء موهومیش  عبارت است ازv(x,y)=2xy .با توجه به معادله ۶.۲۸، می بینیم که شرایط کوشی _ ریمان در تمام صفحه ی مختلط  به ازای ²  z = f(z)  برقرار است . چون مشتقهای پاره ای آشکارا پیو سته اند ،نتیجه می گیریم که ²  z = f(z)  تحلیلی است.