تعداد صفحات: ۲۵ | قابل ویرایش
مقدمه
در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیمگیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصهها در هر حالت ویژه.
زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصهها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازه کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهنده ویژگی عمومی این آزمایشها باشد را ممکن میسازد.
در این فصل بعضی از توزیعهای احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیعهای دو جملهای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی میکنیم این توزیعها از مهمترین توزیعهای گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند. توزیعهای احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفاده زیادی از آن می‌شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.
آزمایش دو جملهای
بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دستهبندی میشوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه می‌باشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجه آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن می‌باشد. تولد یک نوزاد که نتیجه آن پسر و یا دختر می‌باشد. آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجه آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق میافتد.
در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق میافتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه میشوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیعهای احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جملهای» ایفا میکنند.
قبل از این که توزیع دو جملهای را معرفی کنیم، آزمایش دو جملهای را شرح میدهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشک که نتیجه آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‌شود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همه آنها دارای یک مشخصه ویژه آزمایش دو جملهای میباشند.
توزیع احتمالی دو جملهای
توزیع دو جملهای بوسیله مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف می‌شود. پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصه جامعه. در توزیع دو جملهای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده می‌باشد. برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جملهای میتوان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز میتوان دیگر مشخصههای توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.
برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جملهای حاصل می‌شود،فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیله همانندی تولید میکند که به دو صورت سالم و یا ناقص دستهبندی می‌شود. وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت ۱۰/۰=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود. تعداد ناقصها هر مقداری از ۰ تا تعداد آزمودنی (n) میتواند باشد.
برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونه تصادفی چهارتایی یک نتیجه ناقص باشد چقدر است؟ یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونه تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟ کلمه تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جملهای است.
